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Dissertation zugänglich unter
URN: urn:nbn:de:hebis:77-7510
URL: http://ubm.opus.hbz-nrw.de/volltexte/2005/751/

A dictionary of modular threefolds

Meyer, Christian

pdf-Format:
Dokument 1.pdf (1.640 KB)


Fachbereich: 08: Physik, Mathematik und Informatik
DDC-Sachgruppe: 510 - Mathematik
Dokumentart: Dissertation
Sprache: Englisch
Jahr: 2005
Publikationsdatum: 13.05.2005
Inhaltszusammenfassung auf Englisch: The thesis deals with the modularity conjecture for three-dimensional
Calabi-Yau varieties. This is a generalization of the work of A. Wiles
and others on modularity of elliptic curves. Modularity connects the
number of points on varieties with coefficients of certain modular forms.

In chapter 1 we collect the basics on arithmetic on Calabi-Yau manifolds,
including general modularity results and strategies for modularity proofs.

In chapters 2, 3, 4 and 5 we investigate examples of modular Calabi-Yau
threefolds, including all examples occurring in the literature and many
new ones. Double octics, i.e. Double coverings of projective 3-space
branched along an octic surface, are studied in detail.

In chapter 6 we deal with examples connected with the same modular forms.
According to the Tate conjecture there should be correspondences between
them. Many correspondences are constructed explicitly. We finish by
formulating conjectures on the occurring newforms, especially their levels.

In the appendices we compile tables of coefficients of weight 2 and weight 4
newforms and many examples of double octics.
Inhaltszusammenfassung auf Deutsch: Gegenstand der Arbeit ist die Modularitätsvermutung für dreidimensionale
Calabi-Yau-Varietäten, eine Verallgemeinerung der von A. Wiles und anderen
bewiesenen Taniyama-Shimura-Vermutung für elliptische Kurven. Sie besagt,
dass die Anzahl von Punkten auf der Reduktion einer solchen Varietät über
endlichen Körpern durch Koeffizienten gewisser Modulformen bestimmt wird.

In Kapitel 1 stellen wir die Grundlagen über Arithmetik auf Calabi-Yau-Varietäten
zusammen. Dies beinhaltet allgemeine Modularitätsresultate und Strategien für
Modularitätsbeweise.

In den Kapiteln 2, 3, 4 und 5 untersuchen wir viele Beispiele für modulare
dreidimensionale Calabi-Yau-Varietäten. Wir geben einen Überblick über die
vorhandene Literatur und konstruieren zahlreiche neue Beispiele. Besonders
ausführlich behandeln wir doppelte Überlagerungen des dreidimensionalen
projektiven Raumes, die entlang einer Fläche vom Grad 8 verzweigt sind
(sogenannte Doppel-Oktiken).

In Kapitel 6 stellen wir noch einmal dreidimensionale Calabi-Yau-Varietäten
zusammen, die mit derselben Modulform in Verbindung gebracht werden
können. Nach der Tate-Vermutung sollten zwischen ihnen Korrespondenzen
bestehen. Wir geben in vielen Fällen solche Korrespondenzen explizit an.
Anschließend formulieren wir mit Hilfe der gesammelten Daten erste
Vermutungen über vorkommende Modulformen, insbesondere deren Stufen.

In den Anhängen stellen wir Koeffizienten von Modulformen vom Gewicht 2
und 4 sowie Beispiele von bestimmten Doppel-Oktiken zusammen.